888poker
New poker experience at 888poker

Join now to get $88 FREE (no deposit needed)

Join now
PokerStars
Double your first deposit up to $400

New players can use bonus code 'STARS400'

Join now
partypoker
partypoker Cashback

Get up to 40% back every week!

Join now
Unibet
€200 progressive bonus

+ a FREE Unibet Open Qualifier ticket

Join now

Game Theory deel 2

Game Theory deel 2 0001

In dit artikel wordt verder gegaan op deel 1 van game theory. Als je dit deel nog niet hebt gelezen raden we je aan om dit zeker te doen, anders zal je dit artikel minder goed begrijpen. Laten we er dan maar meteen invliegen!

Half-street games, wat zijn dat? Dit zijn simpele spelletjes met enkele eigenschappen:

• Speler 1 (meestal X genoemd) checkt in the dark

• Speler 2 (meestal Y genoemd) heeft de keuze om te checken, of een bepaald bedrag te betten in overeenstemming met de regels van het spel

• Als Y bet, kan X callen en dan is er een showdown. X kan ook folden en kan niet raisen. Als Y checkt is er een showdown.

Dus schematisch gaat het spel als volgt:

Game Theory deel 2 101

Als we spreken over de waarde van het spel, dan bedoelden we de EV van speler Y, gegeven dat zowel X en Y optimaal spelen. Als we verwijzen naar ex-showdown waarde bedoelen we het geld dat van de ene speler naar de andere speler gaat door het betten in het spel. In dit spel wordt de hand van speler Y random getrokken uit een distributie van handen die voor 50% de hand van X verslaat, en voor 50% verliest tegen de hand van X. Wat hieruit al meteen opvalt is dat speler Y geen negatieve EV kan hebben in dit spel omdat hij de optie heeft om terug te checken en dus een EV van 0 te behalen op elk mogelijk moment. Als het spelletje namelijk altijd check-check gaat, winnen beide spelers 50% van de tijd. Ook belangrijk is dat X maar één hand ontvangt en Y op de hoogte is van deze hand. Y heeft dus het informatie voordeel.

X en Y moeten beiden maar één beslissing maken. Y moet een range bedenken om mee te betten en X moet een range bedenken om mee te callen als Y bet. Echter, X zijn range is maar één hand en dus moet hij eigenlijk beslissen hoe vaak hij een bet zal callen. Y kan een pure strategie spelen (d.w.z. één optie 100 % van de tijd uitvoeren) en de nuts altijd valuebetten en zijn slechte handen altijd checken. X zou hem nu kunnen exploiteren door altijd te folden als Y bet, want X weet dan namelijk ook dat alle bets van Y valuebets zijn en X dus altijd verliest bij een call. Als X dit doet kan Y echter wel omschakelen naar de strategie waarbij hij met de nuts en met alle slechte handen bluft. Als Y dat doet kan X weer altijd callen en vervolgens kan Y weer hervallen naar zijn originele strategie: bet de nuts en check de bluffs. We hebben hier dus een patroon van terugkerende strategieën. Dit wijst erop dat de optimale strategie een mixed-strategy zal zijn, oftewel een strategie waarbinnen je verschillende opties een bepaald percentage van de tijd uitvoert.

In dit spel zijn er twee strategische keuzes – eentje voor X: hoe vaak hij zal callen, en eentje voor Y: hoe vaak hij zal bluffen. Y moet sowieso altijd betten met zijn nutshanden want deze optie domineert de check-optie. X zal C % van de tijd callen en Y zal B % van de tijd bluffen. Als we waarden vinden voor C en B hebben we dit spel opgelost.

Laten we beginnen met speler X. Hij speelt optimaal als speler Y indifferent is tussen bluffen en checken. Dit wil zeggen: bluffen en checken heeft voor speler Y dezelfde EV. Als Y bluft zal hij P bets winnen als het succesvol bluft (en X dus foldt) en zal één bet verliezen als X callt. Als C de call-frequentie is dan is 1-C de fold-frequentie. Als X optimaal speelt is Y indifferent tussen bluffen en checken en dus:

(pot size)(fold-frequentie X) = (bluff bet)(call-frequentie X)

(P)(1-C) = (1)(C)

P – PC = C

P = C + PC

P = C(1+P)

C = P/(1+P)

We zien dus dat hoe groter de pot, hoe vaker X zal moeten callen. Dit verwijst terug naar het pot-odds principe: hoe meer er in de pot is, hoe vaker X zal moeten callen om het blufgedrag van Y tegen te gaan.

Langs de andere kant hebben we de strategie van Y. Deze moet vaak genoeg bluffen zodat X indifferent is tussen callen of folden. Als X callt verliest X één bet door een valuebet te callen en wint P+1 door een bluff te callen. Herinner je dat B de bluf-frequentie is.

1 = B(P+1)

B = 1/(P+1)

Deze waarde 1/(P+1) is erg belangrijk in pokeranalyse. Omdat het zo belangrijk is zullen we het even de naam A geven en dus:

A = 1/(P+1).

A stelt twee dingen voor in dit spel. Ten eerste moet X vaak genoeg callen om Y indifferent te maken tussen het checken en bluffen van zijn slechte handen. X zijn call-frequentie is gelijk aan P/(P+1) en dit is gelijk aan 1-A. Mensen die niet begrijpen waarom P/(P+1) = 1-A, begrijpen het misschien beter als we het uitwerken:

Als A = 1/(P+1) dan:

1-A = 1 – 1/(P+1)

1-A = (P+1)/(P+1) – 1/(P+1)

1-A = (P+1-1)/(P+1)

1-A = P/(P+1)

1-A is dus de call-frequentie van X en dus is A de fold-frequentie van X als hij geconfronteerd wordt met een bet van speler Y. Bovendien zal Y, zoals eerder uitgewerkt, 1/(P+1) of A percent van de tijd bluffen. In het algemeen kunnen we dus stellen dat in dit spel de optimale strategieën als volgt zijn: Y bet al zijn nuts handen en bluft A % van zijn slechte handen (of bluft dus A/2 van al zijn handen aangezien hij 50-50 winnende en verliezende handen ontvangt) en X callt met 1-A van al zijn handen.

Laten we een voorbeeld bekijken. Stel dat P = 3. Dit wil zeggen dat:

A = 1/(3+1)

A = 0.25 en ook: 1-A = 0.75

We zien nu dat Y 25 % van de tijd zal betten als bluff. Hij zal dus altijd betten indien hij de nuts heeft (50 % van de tijd) en hij zal 25 % van de tijd betten als hij een dode hand heeft, wat in totaal 0.25 x 0.5 = 0.125 = 12.5 % van de tijd is (en inderdaad A/2 is ook 0.125). Speler X zal bovendien 75 % van de tijd callen.

Stel nu dat P = 4.

A = 1/(4+1)

A = 0.20 en ook: 1-A = 0.80

We zien dan dat Y 20 % van de tijd zal betten als bluff. Hij zal dus altijd betten indien hij de nuts heeft (50 % van de tijd) en hij zal 20 % van de tijd betten als hij een dode hand heeft, wat in totaal 0.20 x 0.5 = 0.10 = 10 % van de tijd is (en inderdaad A/2 is ook 0.10). Speler X zal bovendien 80 % van de tijd callen.

Merk op dat hoe groter de pot wordt, hoe minder Y zal bluffen. Dit spreekt misschien je intuïtie tegen aangezien succesvol bluffen in een grotere pot meer opbrengt, maar een belangrijk principe van optimaal spelen stelt dat bluffen in optimaal pokerspel op zich geen winstgevende move is. Echter, het combineren van bluffen en valuebetten is ontworpen om ervoor te zorgen dat de optimale strategie aan waarde wint, ongeacht de reactie van de tegenstander.

Laten we nu eens een echt pokervoorbeeld bekijken waarin we game theory gaan gebruiken om te bepalen hoe vaak we kunnen bluffen. Stel we spelen No Limit Texas Hold'em en we zitten heads-up vóór de river en we willen weten hoe vaak we in deze situatie kunnen bluffen. Het is belangrijk dat we niet altijd op game theory moeten terug vallen. Stel dat we tegen iemand spelen die te veel callt, dan bluffen we uiteraard nooit. Tegen iemand die te veel foldt, bluffen we vaker. Game theory is vooral handig als we onze tegenstander niet kennen of we denken dat hij beter dan ons is. We willen ervoor zorgen dat hij ons dan niet kan exploiteren.

Stel dat we 20 % kans hebben om te winnen op de river (bijvoorbeeld een flushdraw). Er zit $100 in de pot en een aanvaardbare bet lijkt ongeveer $50 (misschien is $60 beter maar om de pot odds rond te houden gebruiken we $50). Hij krijgt dan 150:50 of 3 to 1 op zijn geld. Om hier een bluf-frequentie te vinden moeten we zorgen dat onze bluf odds gelijk zijn aan zijn pot odds. Met bluf odds bedoel ik de kans dat je bluft als je bet.

Aangezien zijn pot odds gelijk zijn aan 3:1 moeten onze bluf odds ook 3:1 of 25 % zijn. Op de river gaan we dus als we betten, dit 75 % van de tijd doen met de beste hand en 25 % van de tijd als bluf. Deze 75 % met de beste hand betten vertegenwoordigt de 20 % kans dat we onze outs hitten. De andere 25 % vertegenwoordigt ook een bepaalde kans, namelijk 6.66% (20 % delen door de 3 uit de 3:1 odds). We gaan op de river dus 20 % van de tijd betten met de beste hand, 6.66 % van de tijd betten als bluff en 73.34 % van de tijd checken. Merk op dat je dus 25 % van de tijd bluft hier; namelijk: 6.66/(20+6.66) = 0.25 = 25 %.

Hoe kan je dit in de praktijk brengen? We kunnen nu bijvoorbeeld opteren om te betten op al onze 9 outs, en op drie additionele "bluff outs". Let erop dat je met deze bluff-outs ook iets kunt representen, anders sta je voor aap. Drie outs komen overeen met ongeveer 6.66 % (3 outs delen door 46 onbekende kaarten = 0.06521). Dus op de river betten we op onze 9 outs die ons een flush geven plus 3 additionele outs die we op voorhand gekozen hebben.

Als onze tegenstander op de river nu een bet van ons moet callen waarop hij 3:1 odds krijgt, zal blijken dat wij 75% van de tijd de beste hand hebben en 25% van de tijd bluffen. Zijn kans op winnen is dus 25%. Dit maakt zijn EV van een call: (0.25)($150) + (0.75)($-50) = $37.5 - $37.5 = $0 en zijn EV van een fold is ook $0. We zien dus dat we met het gebruik van game theory ervoor hebben gezorgd dat we niet te exploiteren zijn door een tegenstander die onbekend of mogelijk beter dan ons is. Dus volg de volgende stappen als je unexploitable wilt bluffen:

1) Bepaal een goede geloofwaardige betsize en bekijk welke odds je tegenstander krijgt bij deze betsize

2) Zorg ervoor dat je bluff odds bij een bet gelijk zijn aan de pot odds van je tegenstander, m.a.w. als je op de river bet moeten zijn pot odds gelijk zijn aan de kans dat jij bluft.

Nog snel even een extra voorbeeld. De pot is 500$, jij bet 400$. Je tegenstander krijgt dan 2.25:1 pot odds. Zorg dan dat als je bet, de kans dat je bluft gelijk is aan 2.25:1 oftewel 30.77%. Als je bet daar moet dat dus 69.23% van de tijd met de beste hand zijn en 30.77% van de tijd als bluff. Op die manier ben je niet te exploiteren.

De voorbeelden in dit artikel zijn geïnspireerd op twee boeken, namelijk The Mathematics of Poker en The Theory of Poker. Waar deze boeken mijns inziens een steek laten vallen qua duidelijkheid, heb ik getracht de zaak helderder en beter voor te stellen. Meer informatie over game theory kan je in deze boeken vinden.

Hopelijk vonden jullie het interessant. Vragen, opmerkingen, kritiek en dergelijke zijn zoals altijd welkom op het forum of per PM. Volgende keer zal het hoogstwaarschijnlijk gaan over jam-fold theorie, wat men kan toepassen bij heads-up met hoge blinds. Tot de volgende keer!

LEES MEER

Comments

Nog geen reacties. Wees de eerste die post!

Wat denk jij?
Registreer je om een reactie achter te laten of login met facebook