Now Live Lex "RaSZi" Veldhuis Twitch Stream

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 0001

In deel 1 over dit onderwerp heb ik trachten uit te leggen wat EV, variance en de wet van grote getallen zijn en hoe je dit alles op poker toepast. Vandaag gaan we deze kennis omzetten in de praktijk. We gaan de toekomst trachten te voorspellen! In dit artikel zullen we gebruik maken van gegevens die we kunnen vinden in PokerTracker. Ook vandaag weer een stevige brok wiskunde, want de toekomst voorspellen is niet zo simpel. Dit is een lijvig artikel, niet omdat er meer informatie dan gewoonlijk in staat, maar omdat de formules en vooral de voorbeelden veel extra ruimte in beslag nemen.

De gegevens

Waar gaan we de benodigde gegevens vinden? De meeste mensen beschikken al over PokerTracker (PT). Ook in PokerOffice kunnen we de gegevens vinden maar daar stuiten we op een probleem, waar ik later op terug kom. Wanneer we in PT naar Session Notes gaan, kunnen we rechtsboven klikken op de knop More Detail. Nu verschijnt er een nieuw venster. Kies bovenaan in het menu de limiet die je wilt analyseren. In mijn voorbeeld is dat 50NL (6max). In het witte kader staan nu alle gegevens die we nodig hebben.

De volgende gegevens hebben we nodig (BB = big bets = ptBB = 2 big blinds):

- Total hands: 30 786 hands

- WR in Big Bets/100: 3.46 BB/100

- St.dev/100 Hands: 40.8690 BB/100

In PokerOffice zijn de gegevens voorlopig enkel nog beschikbaar per uur, in plaats van per 100 handen. Dit zou enkele formules veranderen en daarom heb ik besloten het buiten beschouwing te laten. Mensen die PO gebruiken mogelijk altijd even PM'en voor meer info.

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 101

Onze werkelijke winrate

Elke speler heeft een bepaalde werkelijke winrate. Dit is de winrate die hoort bij onze stijl van spelen, onze strategie. Naarmate we meer handen spelen kunnen we in PT onze winrate aflezen, maar dit is niet noodzakelijk onze werkelijke winrate. Het is de winrate die voortvloeit uit onze steekproef (sample) van handen die we gespeeld hebben. Het kan dus goed zijn dat we in PT een positieve winrate aflezen, maar dat we in werkelijkheid toch een verliezende speler zijn. Je hoort wel eens zeggen dat je over een sample van 5 000 handen nog geen idee kunt hebben van je winrate. Dit heeft hier dus mee te maken.

Onze winrate in PT is dus eigenlijk een winrate die voortvloeit uit een steekproef. Wij willen echter informatie over onze werkelijke winrate. Om dit te doen maken we gebruik van iets wat in de statistiek bekend staat als betrouwbaarheidsintervallen. Deze intervallen geven op basis van een steekproef aan tussen welke twee grenzen je werkelijke winrate ligt, met een vooraf bepaalde betrouwbaarheid van bijvoorbeeld 90%, 95% of 99%. In ons voorbeeld gebruik ik een 95% betrouwbaarheidsgraad. De formule van het betrouwbaarheidsinterval gaat dan als volgt:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 102

waarbij:

- WR = WR in BB/100

- σ = st.dev in BB/100

- n = # handen gedeeld door 100

Opmerking, deze formule geldt alleen als je meer dan 3 000 handen hebt gespeeld! Heb je er minder gespeeld dan zal de 1.96 niet meer kloppen en moet je die vervangen door een ander getal gebaseerd op je samplegrootte.

Bij ons is dit:

- WR = 3.46 BB/100

- σ = 40.8690 BB/100

- n = 30 786/100 = 307.86

De reden waarom we het aantal handen delen door 100 om n te verkrijgen is dat zowel WR als SD (standaardafwijking) uitgedrukt zijn in 100 handen en we n in dezelfde eenheid nodig hebben. Het aantal handen staat uitgedrukt met als eenheid handen, en door te delen door 100 verkrijgen we de eenheid 100 handen. Als we alles invullen in de formule krijgen we:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 103

Dit geeft als resultaat [ -1.11 ; 8.03 ]. Wat betekent dit? Wel, we kunnen nu zeggen dat we 95% zeker zijn dat dit interval onze werkelijke winrate zal bevatten. Zoals je ziet kan deze werkelijke winrate nog steeds negatief zijn wat wilt zeggen dat je best ook een verliezende speler kunt zijn ondanks de positieve winrate die momenteel in PT te vinden is. Maar ook 8 BB/100 ligt in het interval, dus misschien is onze echte winrate zelfs hoger dan we zien in PT. We weten nu dus niet onze exacte werkelijke winrate, maar we hebben alvast een interval waarbinnen deze met 95% betrouwbaarheid ligt en dus weten we al veel meer als tevoren.

Stel dat we dezelfde winrate en SD hadden, maar over 100.000 handen. Hoe verandert dan onze betrouwbaarheidsinterval? Alle gegevens blijven hetzelfde, behalve n. We spelen 100 000 handen en dus zal n = 100000/100 = 1 000. Dan krijgen we de volgende formule:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 104

Met als resultaat: [ 0.93 ; 5.99 ]. Na het spelen van 100 000 handen zien we dus dat we al ongetwijfeld een winnende speler zijn, met een werkelijke winrate tussen ongeveer zo'n 1 BB/100 en 6 BB/100. Dit bevestigt de stelling dat onze winrate steeds beter wordt geschat door een grotere sample te spelen.

Hieronder een tabel waarbij ik (met de vorige winrate en SD) het aantal handen laat variëren en waarbij ik het bijbehorende betrouwbaarheidsinterval geef. Je kan daaruit duidelijk zien dat je schatting steeds betrouwbaarder wordt naarmate je meer handen speelt.

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 105

Om je winrate te kunnen schatten tot op 1 BB/100 nauwkeurigheid zou je best 500 000 handen spelen. Dit berekenen we aan de hand van een statistische formule die verder weinig belang heeft. Ik ben hierbij uitgegaan van een SD van 35 BB/100 die voor vele spelers een goede schatting blijkt (voor degenen die zich dat afvragen). Dit heb ik uit verschillende databases van collega's.

Kans op een winnende sessie berekenen

Hoe vaak ga je winnen als je aan een tafel gaat zitten? Sommige onder jullie zullen intuïtief deze vraag beantwoorden door te zeggen dat je in PT moet gaan kijken naar je totaal aantal sessies en naar het aantal sessies dat je hiervan hebt gewonnen. Zo kan je dan het percentage berekenen van je winnende sessies. Dat klopt echter niet helemaal. Je weet dan hoeveel sessies van je totale sessies je gewonnen hebt, maar kunt niets zeggen over de kans dat je zult gaan winnen de volgende keer dat je aan een tafel gaat zitten.

Wij berekenen dit op een andere manier, waarbij we het volgende nog steeds nodig hebben:

- WR = 3.46 BB/100

- σ = 40.8690 BB/100

Eerst moeten we bepalen hoe groot onze sessie zal zijn. Stel dat we een sessie van 1 000 handen gaan spelen. We moeten nu onze winrate en SD voor een sessie van 1000 handen berekenen. We hebben echter enkel gegevens over sessies van 100 handen (omdat alles uitgedrukt staat in termen van BB per 100 handen). Dit moeten we dus eerst omzetten naar BB/1000 handen, omdat we kiezen voor een sessie van 1 000 handen. Dit doen we met de volgende formules:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 106

waarbij:

n = gekozen aantal handen in één sessie

WRn = winrate bij een sessie van n handen

WR100 = winrate per 100 handen (te vinden in PT)

σn = SD bij een sessie van n handen

σ100 = SD per 100 handen (te vinden in PT)

En dit geeft in ons voorbeeld:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 107

Een sessie van 1000 handen heeft dus een WR van 34.60 BB/1000 en een SD van 129.2391 BB/1000. Nu kunnen we de kans bepalen dat we zullen winnen.

De volgende grafiek stelt alles visueel voor:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 108

De bovenstaande kansverdeling is de cumulatieve normaalverdeling met gemiddelde 34.60 BB/1000 en SD 129.2391 BB/1000. Deze verdeling geeft weer hoe groot de kans is dat je lager of precies op een bepaalde uitkomst (X) terecht komt. Het oranje deel van de grafiek stelt alle uitkomsten voor waar je verliest, het groene deel alle uitkomsten waar je wint. Je ziet dat de kans dat je 0 BB/1000 of minder verdient gelijk is aan iets minder dan 40% (later berekenen we deze exact). Je ziet ook dat de kans dat je 400 BB of minder zult verdienen ongeveer gelijk is aan 100%. Dat is ook logisch, want je zult bijna altijd 400 BB of minder verdienen in die bepaalde sessie omdat je om 400 BB te winnen in 1000 handen al een serieuze upswing zult moeten meemaken.

Als je wil weten hoe groot de kans is dat je meer dan een bepaalde X waarde zal verdienen dan moet je 1 – cumulatieve kans doen. Stel dat we willen weten hoe groot de kans is dat we meer dan 100 BB/100 zullen verdienen. De kans om minder of gelijk aan 100 BB te verdienen in deze sessie is gelijk aan 69.36%. De kans om meer dan 100 BB te winnen is dus 100% - 69.36% = 30.64%.

Hoe berekenen we deze percentages exact? Dit doen we aan de hand van een z-score. Een z-score staat voor het aantal SDs (standaardafwijkingen) dat een bepaalde uitkomst verwijderd is van zijn gemiddelde. Als we ons vragen stellen over de uitkomst 0 BB beantwoorden we dus de vraag: "Hoeveel SDs is 0 BB/1000 verwijderd van onze gemiddelde winrate van 34.60 BB/1000?". Als we deze z-score weten dan kunnen we berekenen hoe groot de kans is dat we een uitkomst verkrijgen die kleiner of gelijk is aan deze z-score, of: de kans dat we 0 BB/1000 of minder zullen verdienen in de sessie, wat hetzelfde is als een verliezende sessie. Om de z-score van een uitkomst X te berekenen moeten we het volgende doen:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 109

en dat geeft in ons voorbeeld met uitkomst 0 BB/1000:

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 110

Dit wil zeggen dat de z-score van een uitkomst van 0 BB/1000 gelijk is aan -0.27. De kans die bij deze z-score hoort is 0.3936 (zie tabel met z-scores). Dit wil dus zeggen dat er een kans van 39.36% is dat we een verliezende sessie (0 BB/1000 of minder) zullen hebben. Onze kans op een winnende sessie is bijgevolg 60.64%. Goed nieuws dus! Een speler met een winrate van 4 BB/100 en een SD van 35 BB/100 (de meeste goede TAG's hebben dit) heeft bij het spelen van sessies van 100, 500, 1 000 en 5 000 handen respectievelijk ongeveer 54%, 60%, 64% en 79% kans om te eindigen met winst.

Simulatie van de volgende 100k handen

In dit laatste onderdeel gaan we met behulp van Excel een simulatie maken van onze 100k volgende handen. Hierbij hebben we enkel onze winrate en SD in BB/100 nodig. We kunnen nu per 100 handen een willekeurige winst laten retourneren. Dit doen we door gebruikt te maken van de functie RAND() in de engelse versie of ASELECT() in de nederlande versie. Deze functie retourneert willekeurige getallen tussen 0 en 1. Deze getallen kunnen we dus gebruiken als een bepaalde kans. Deze kans gebruiken we in de verdeling van onze winrate, waarvan we aannemen dat deze normaalverdeeld is met als gemiddelde je winrate en als standaardafwijking de SD uit PokerTracker. Het random getal wordt ingevuld in de NORMINV() functie waardoor we een willekeurige winrate krijgen rond jouw gemiddelde winrate en met jouw SD. Dit doen we 1000 maal zodat we in totaal 100k handen bekomen. We tellen per 100 handen telkens de winst of het verlies op en bekomen zo totale winst over alle handen. Dit zal dus een zeer goede simulatie vormen voor jouw volgende 100k handen. Dit resulteert bijvoorbeeld in de onderstaande grafiek, waarin ik drie simulaties heb verwerkt.

Wat is variance, wiskunde en hoe ga je ermee om: deel II 111

Je kunt dus zien dat je met die gegevens aardig wat variance kunt hebben. Vooral de groene lijn toont aan dat je enorm veel pech kunt hebben en een breakeven stretch over 100k handen perfect mogelijk is.

Afsluiting

Als bijlage heb ik een Excel-file toegevoegd met een betrouwbaarheidsintervalcalculator, losing session % calculator, grafieken, een simulatie en een z-score tabel (zie verschillende werkbladen in Excel). Deze bijlage kan je hier hier vinden. Vragen omtrent alle onderwerpen die hier besproken zijn, zijn altijd welkom op het forum en ik zal ze ook snel proberen te beantwoorden. Verder wil ik nog even vermelden dat je dit alles niet per sé hoeft te begrijpen/kennen om een goede pokerspeler te zijn, laat dat duidelijk zijn. Het wiskundige aspect van poker is heel interessant voor sommigen en slaat nergens op voor anderen. Toch kan een wiskundige analyse van het pokerspel je mentaal op weg helpen om ook downswings beter te kunnen trotseren, waardoor in principe je spel verbetert. In het volgende deel gaan we het niet zo wiskundig aanpakken, maar gaan we eerder in op de psychologie.

Hopelijk hebben jullie ervan genoten, tot de volgende keer!

Kurt Verstegen (Riverdale27)

LEES MEER

Comments

  • Diedel777 Diedel777

    sick nice, maar niks voor mij.

  • Davidonjo Davidonjo

    Teringg dit is niets voor mij iig om te berekenen Drunk

  • Dutchn00b Dutchn00b

    Uitstekend artikel. Zeker bruikbaar om bepaalde mensen uit te leggen hoe variance werkt en dat x aantal x roulette spelen bijvoorbeeld nog geen ´winnende tactiek´ hoeft te betekenen (waar sommigen wel van overtuigd zijn in mijn omgeving, lol).

Lees 3 reactie(s) op dit artikel

Wat denk jij?
Registreer je om een reactie achter te laten of login met facebook