Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 0001

Variantie, of de engelse vertaling variance is iets waar elke pokerspeler mee geconfronteerd wordt. In de meeste situaties bij poker is de variantie erg groot. Dit is het eerste onderwerp uit een serie die uit meerdere artikelen zal bestaan. Het eerste artikel zal zich focussen op een definiëring van variance en verwante concepten. Het tweede artikel zal je enkele manieren aanleren om de concepten in je eigen pokergame toe te passen, bijvoorbeeld: hoeveel van je sessies zijn winstgevend, hoe groot is de kans dat je een winnende speler bent op basis van je huidige PokerTracker gegevens, en meer. In het derde en laatste artikel zal ik tips en advies proberen te geven over de psychologische kant: hoe je ermee moet omgaan. In dit eerste deel zal ik enkele concepten verklaren die je begrip over bad beats, coolers en downswings zullen vergroten. Het wordt alweer een stevige brok wiskunde maar ik raad je ten sterkste aan om alles proberen te begrijpen, ook al moet je het een paar keer opnieuw lezen.

Expected value

Als we de keuze hebben tussen bepaalde beslissingen in poker (check, fold, call, raise, …) dan moeten we ernaar streven om de beslissing met de hoogste EV te nemen. Expected value (verwachte waarde) staat voor het gemiddelde resultaat dat je op lange termijn zult verkrijgen en is daarom bijzonder handig om beslissingen te evalueren. De berekening van de EV gaat als volgt:

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 101

met

n = het aantal uitkomsten

pi = kans op uitkomst

xi = waarde van de uitkomst

Dat ziet er voor sommigen vast moeilijk uit, maar eigenlijk is het best simpel. Dat vreemde E-vormige teken noemt met het sommatieteken, waarmee je een som korter kan schrijven. Dat wil hier dus zeggen: vermenigvuldig alle waardes x van de uitkomsten met de kans p dat ze zullen plaatsvinden en neem hiervan de som. Voor degenen die het nog niet snappen geef ik een voorbeeld:

Veronderstel een klein poker experiment. Je bent heads-up met iemand en je hebt beide 100$ stacks, er zijn geen blinds. Jij hebt {a-Spades}{a-Diamonds}, en je tegenstander gaat all-in voor 100$ en gooit zijn kaarten open. Hij heeft {k-Spades}{k-Diamonds}. Jouw hand is 82.637% favoriet tegen zijn hand. Zijn hand heeft dus bijgevolg 17.363% kans op winnen. Jij gaat uiteraard callen, want je staat gigantisch voor! Maar wat is hier de EV? Zoals de formule zegt moeten we de som nemen van de waarde van alle uitkomsten, vermenigvuldigd met de kans dat ze zich voordoen. Er zijn hier twee uitkomsten (n=2), nl. winnen: +100$ of verliezen: -100$. De kans dat we winnen p is 82.637% en de kans dat we verliezen is 17.363%.

De formule wordt hier dus:

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 102

Deze 65.275$ wil zeggen: als je deze AA vs KK situatie heel vaak speelt, zal je per keer gemiddeld 65.275$ winnen. Dit is natuurlijk een gemiddelde, omdat je per keer ofwel 100$ wint (de rake buiten beschouwing gelaten) ofwel 100$ verliest. Maar als je bijvoorbeeld 9 keren 100$ wint en 2 keren 100$ verliest, dan is je gemiddelde winst over die 11 keren dus (9 x 100$ + 2 x -100$)/11 = 700/11 = 63.63$, en we kunnen zien dat dit al erg kort ligt bij de voorspelde EV van 65.275$. Deze EV is groter dan de EV van folden (die ALTIJD nul is) en dus is callen de optimale beslissing. Hiervoor heb je in dit voorbeeld echter geen wiskunde nodig, maar er zijn enorm veel situaties waar je dat wel nodig hebt, dus houdt EV goed in gedachten. Meer info hierover vind je in dit artikel dat ik een paar maanden geleden heb geschreven.

Variantie en standaardafwijking

Variantie (variance) is een maat om de afwijking van het gemiddelde (de EV) te meten en we noteren het als σ². De variantie is het gemiddelde van de gekwadrateerde verschillen tussen uitkomsten en EV. Variance bereken je op de volgende manier:

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 103

Weer een moeilijke formule? Nee hoor, het sommatie teken kennen jullie ondertussen, en wat erachter staat kennen jullie ook al. De variantie trekt van een uitkomst het gemiddelde (de EV) af en kwadrateert dit verschil. Vervolgens gaat men dat kwadraat vermenigvuldigen met de kans dat die uitkomst voorkomt. Dit doet men voor alle uitkomsten en deze telt men bij elkaar op (vandaar het sommatieteken). Zo verkrijgt men de variantie. Het zal duidelijker worden door dit toe te passen op ons AA vs KK voorbeeld.

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 104

Dit getal vertelt ons eigenlijk niet zoveel. Nu weten we enkel dat de som van alle afwijkingen van het gemiddelde in het kwadraat maal hun kans op voorkomen gelijk is aan 5739.30$². Wat nu? Wel dit getal staat uitgedrukt in $², en het gemiddelde (de EV) staat uitgedrukt in $. Het is dus moeilijk om beide te vergelijken.

Dit brengt ons bij standaard afwijking (standard deviation). De standaardafwijking staat uitgedrukt in $ en is dus veel gemakkelijker te vergelijken met het gemiddelde. De standaardafwijking, die we als σ noteren, is de vierkantswortel van de variantie.

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 105

Toegepast op ons voorbeeld geeft dat:

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 106

Dit getal kunnen we vergelijken met het gemiddelde, want nu hebben we ook een maatstaf van de spreiding in $ in plaats van $². We zien hier dat de EV gelijk is aan 65.275$ en dat de standaardafwijking gelijk is aan 78.76$.

Als de standaardafwijking groter is dan het gemiddelde kunnen we spreken over erg grote afwijkingen. Om maar even te vergelijken: als met {q-Spades}{q-Diamonds} all in gaat tegen {a-Spades}{k-Spades}, een 54.117% vs 45.883% situatie, en dit voor dezelfde bedragen als in het vorige voorbeeld, dan is de EV = 8.23$. De variantie is dan 9932.20$² en de standaardafwijking 99.66$. Hier is de standaardafwijking nog veel groter dan het gemiddelde (EV) wat erop duidt dat een enorme afwijking van het gemiddelde mogelijk is. Dit is logisch omdat je hier spreekt van een bijna-coinflip, waarbij iemand gemakkelijk vier keer na elkaar kan verliezen. De kans dat je vier keer na elkaar kunt verliezen in de QQ vs AKs situatie is namelijk 0.458834 = 4.43%. Ter vergelijking: de kans dat iemand een 2 outer hit op de river is ongeveer 4.54%. Hoeveel keren heb je dat al niet meegemaakt?

Vier keer na elkaar een coinflip verliezen (en dus -400$ staan in ons voorbeeld) is dus perfect mogelijk, en toch spreken mensen die vier keer een 55-45 situatie verliezen al sneller van een downswing dan iemand die op een avond een 2 outer tegen zich krijgt, terwijl de kans op beide gebeurtenissen bijna gelijk is. Allemaal psychologische bijeffecten natuurlijk, want onze hersenen concentreren zich op de korte termijn en zien graag positieve resultaten uit goede beslissingen. Komen die positieve resultaten niet meteen, dan gebeuren er allerlei complicaties, bijvoorbeeld tilt.

Nog een belangrijk punt: EV en variantie zijn additief. Dat wil zeggen, als je EV voor 1 keer AA vs KK gelijk is aan 65.275$, dan is je totale EV voor 120 keren AA vs KK gelijk aan 120 x 65.275$ = 7833$. Je mag het dus gewoon optellen. Hetzelfde met variantie. Die van 1 keer AA vs KK is gelijk aan 5739.30$², dan is de totale variantie (n=120) gelijk aan 120 x 5739.30$² = 688716$². Met standaardafwijking is het iets anders. Als je de standaardafwijking van 120 keren AA vs KK wilt weten, dan moet je niet 75.76$ x 120 doen, maar 75.76$ x de wortel van 120, wat als resultaat 829.91$ geeft. Formeel is dit:

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 107

Je ziet dat na 120 keren de totale EV gelijk is aan 7833$ en dat de standaardafwijking gelijk is aan 829.91$. De standaardafwijking is nu een heel pak kleiner dan de EV. Dit wil zeggen dat je gemiddelde na die 120 keren al heel wat korter bij je EV zal liggen omdat de swings elkaar compenseren over een grotere sample.

Waar EV dus een aanduiding is of je een goede of slechte beslissing neemt, is de variantie en de standaard afwijking dus een aanduiding voor hoe groot het verschil tussen de werkelijke uitkomst en de EV kan zijn in bepaalde situaties. Hierdoor zou je sneller moeten kunnen begrijpen dat je op korte termijn nogal wat pech kunt hebben. Is de standaardafwijking groter dan het gemiddelde, wat bij poker heel vaak het geval is, dan mag je grote afwijkingen verwachten, of swings zoals we ze wel eens noemen. Ook belangrijk om te weten is dat variance niet noodzakelijk slecht hoeft te zijn! Variance kan ook in de positieve zin voorkomen, bijvoorbeeld een upswing. Op korte termijn is veel mogelijk en dit brengt ons bij het volgende onderwerp: de lange termijn.

De wet van de grote getallen

We weten nu dat we moeten spelen met de hoogst mogelijke EV. We weten ook dat hoe groter de standaardafwijking is ten opzichte van de EV, hoe groter de swings zullen zijn. Maar stelt dit alles ons wel gerust? Niet echt! De wet van de grote getallen gaat ons echter wel geruststellen. Deze wet stelt, simpel uitgedrukt, dat je werkelijke gemiddelde na voldoende samples zal bewegen naar de EV toe en daar rond zal blijven hangen. Je verliest vandaag misschien vijf grote draws waar je een +EV beslissing maakte, maar laat dat je niet beïnvloeden. Weet dat je op lange termijn gemiddeld zult winnen wat je hoort te winnen, nl. de EV.

Om dit aan te tonen heb ik ons AA vs KK experiment in Excel gegoten. Ik heb Excel 1000 keer de situatie laten simuleren en gekeken wat de uitkomst is. Dit doe ik aan de hand van random getallen. Excel kan random getallen retourneren tussen 0 en 1 met de functie RAND(). Dit laat ik Excel 1000 keren doen. Ligt het getal tussen 0 en 0.82637, dan wint AA. Ligt het getal tussen 0.82637 en 1, dan wint KK. Dit experiment zal dus logischerwijs vaker AA laten winnen dan KK, exact hetzelfde zoals dat in het echt gebeurt. Per keer dat de hand wordt gespeeld hou ik het werkelijke gemiddelde bij.

We spelen de hand 1 keer, we winnen en krijgen 100$. We winnen nu gemiddeld 100$. We spelen nogmaals en verliezen 100$ wat ons gemiddelde terugbrengt naar 0$. Vervolgens winnen we nog een keer 100$ wat ons gemiddelde brengt naar 33.33$ (100$/3). De vierde keer winnen we nog eens, en ons gemiddelde wordt 50$ (200$/4). Hetzelfde voor de vijfde tot en met twaalfde keer en ons gemiddelde is ondertussen 83.33$ (1000$/12). Dit herhalen we 1000 keer, en na elke keer meten we ons gemiddelde op. We maken van dit alles een grafiek, waarop we niet enkel het gemeten gemiddelde plotten, maar ook de EV zoals we eerder hadden berekend: 65.275$. Wat zien we nu op deze grafiek?

Wat is variance en hoe ga je ermee om: deel I 108

We kunnen ten eerste onze EV aflezen (de rode lijn), maar nog belangrijker: we zien hoe ons gemeten gemiddelde (de blauwe lijn) afwijkt van deze EV op de korte termijn (vooral in de eerste 100 handen wijkt het veel af). Op lange termijn, echter, zien we dat ons gemeten gemiddelde steeds korter en korter naar de EV toe gaat. Je denkt misschien: deze grafiek is een simulatie, dat kan niet kloppen. Dat is onjuist! Ook jouw resultaten zullen allemaal naar hun EV evolueren, bijvoorbeeld op de manier zoals dat in de grafiek gebeurt. En zoals je kunt zien heb je bij deze AA vs KK situatie al een poging of 1000 nodig om je EV te benaderen, en dat gebeurt niet vaak zoals we allen weten.

Hier stopt het eerste deel over dit onderwerp. In het volgende deel gaan we het hebben over manieren om je werkelijke winrate te schatten, het percentage winstgevende sessies te berekenen, en nog veel meer. Daar komen EV, variantie en standaardafwijking ook weer bij kijken dus probeer deze concepten dan goed te begrijpen. Voor de geïnteresseerden, klik hier voor het experiment in Excel: AA vs KK experiment.

Vragen, opmerkingen, suggesties, kritiek en ook voorstellen voor nieuwe strategie artikelen zijn altijd welkom op het forum! Aarzel niet om mij een PM te sturen met al je vragen. Hopelijk hebben jullie iets bijgeleerd en tot de volgende keer!

Kurt Verstegen (Riverdale27)

LEES MEER

Comments

Nog geen reacties. Wees de eerste die post!

Wat denk jij?
Registreer je om een reactie achter te laten of login met facebook